아래 문자는 네이버 블로그 검색 유입을 위해 위 사진에서 수식을 제외한 부분만 복사하여 붙인 것입니다. 따라서 읽지 않으셔도 됩니다.
네이버 블로그 수식 편집기가 한글 문서 수식 편집기보다 불편하고 설상가상으로 스마트 에디터 ONE 수식 편집기는 글 바로 옆에 수식을 쓰는 것이 불가능해 부득이하게 이런 방식으로 글을 쓰게 됐습니다.12.3 편도함수(Partial Derivatives) 문제로 별다른 언급 없이 1계 편도함수가 연속, 2계 편도함수가 연속이라는 조건을 줄 때가 있는데 이는 모든 1계, 2계 편도함수가 연속이라는 뜻이다. 즉 가2 변수 함수일 때 1계 편도함수가 연속이면 가 모두 연속이고 2계 편도함수가 연속이면 모두 연속이다.Problem 12.3.1일 때의 값을 구하시오.sol) 모든 것에 대하여이기 때문에 편도함수의 정의에 의하면이다. ■ Problem 12.3.2일 때에 대해서만 포함하는 식으로 나타내십시오.sol) 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.■Problem 12.3.2는 의 편도함수를 직접 구해서를 대입하려고 하면 계산이 복잡하다. 하지만 편도함수 정의를 사용하면 계산량이 줄어드는데 그 이유는 그래서다.Problem 12.3.2와 같이 미분적분학으로 계산할 때 이면 편도함수의 정의를 사용하여 계산하는 것이 더 쉬운 경우가 많다.Problem 12.3.3에 대한 값을 구하시오.sol) 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.따라서 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.
■ Problem 12.3.3 으로부터 를 얻을 때, 실제로는 인 경우와 인 경우로 나누어 풀어야 한다. 사실 극한은 타향분모에 포함돼 있기 때문이다. 그러나 이 때문에 편의상 케이스를 나누지 않고 계산하는 편이다.를 얻을 때도 같은 이유로 설명을 생략했다.Claraut’stheorem에 따르면 Problem 12.3.3에서 주어진 함수에 대해 둘 중 적어도 하나는 에서 연속이 아님을 알 수 있지만 실제로는 모두 불연속임을 증명해보자. 의 함수식은 분자, 분모가 모두 다항식이므로 Claraut’stheorem에 따르면 원점을 제외한 모든 점에서 성립한다. 그리고 Problem 12.3.3의 해설 과정을 그대로 따르면 일할 때이자 일할 때임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.따라서 다음을 얻는다.그래서 다같이 극한이 존재하지 않는다. 따라서 모두 불연속이다.미분적분학에서 1계, 2계 편도함수의 연속 여부를 판정하는 문제를 풀 때는 편도함수를 직접 계산하기보다는 Problem 12.3.3처럼 편도함수의 정의를 사용하는 방향으로 접근하는 것이 편한 경우가 많다.이를 위한 칩을 소개한다. 가 주어져 있을 때 가부터 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때 우선 편도함수의 정의를 사용하여 를 계산하는 것을 권한다.마찬가지로 가목부터 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때에도 편도함수의 정의를 이용해 를 먼저 계산하는 것을 권장한다.이 방법을 사용해서 다음 문제를 풀어보자.Problem 12.3.4에 대해 가목에서 연속인지 불연속인지를 판정하시오.sol) 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.따라서, 그러므로, 그러므로 불연속이다. ■ Problem 12.3.4에서 편도 함수의 정의에 의하면이다. 따라서 가목에서 연속인지 판정하려면 편도함수를 직접 계산해야 한다. 직접 계산하면 다음을 얻는다.이면인 것으로 보아 길에서 불연속임을 알 수 있다.Problem 12.3.52 변수 함수는 어떤 경우에 다음과 같이 정의되어 있다.이 때, 2 변수 함수를 다음과 같이 정의하자. 의 함수값을 몇 개 구해보면 이다.다음 물음에 답하시오. 모든 것에 대해서임을 증명하시오.(b) 함수를 로 정의하자. 뒷면임을 증명하시오.sol)의 함수값을 다음과 같이 좌표평면상에 나타내자. 노란색으로 표시된 부분은 을 만족시키는 영역이다.
(a). 이면 모두에 대해서이기 때문에 편도함수의 정의에 의하면임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 때임을 증명하면 충분하다.그림을 보면 일할 때다. 이제 ‘면서’에 가까워질 때가 어떻게 변하는지 살펴보자.임을 만족하는 것은 존재한다. 따라서 이때의 점은 두 곡선 사이에 존재한다. 그 때문인 때가 충분히 작으면, 을 만족하여 다음을 얻는다.
따라서 모든 것에 대하여이다. ■(b). 그렇다면 모든 것에 대하여이기 때문에 다음을 얻는다.이면이기 때문이다. 따라서 를 가정하자.case1)이 경우이기 때문이다. 그리고 이면이기 때문에 다음을 얻는다.
case 2) 이 경우이며 주어진 범위에서 를 만족시킨다.그러므로 case1에 의함이 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.
그러므로 뒷면이다. ■ Problem 12.3.5부터이므로 Problem 12.3.5로부터 주어진 다음 등식의 반례가 된다.
미적분(1) 또는 공학수학(1)에서 편의상 1변수함수로 나타내는 것을 배웠다. 편도함수도 비슷하나 2변수함수를 편의상 다음과 같이 나타낸다.변수 함수에 대해서도 마찬가지로 편의상 다음과 같이 나타낸다.
교재에서는 Claraut’stheorem이 모든 것을 포함하는 적당한 Open disk 위에서 연속되었을 때 성립한다고 소개하지만 실제로는 이보다 조금 약한 조건이라도 성립한다. 다음 문제를 풀어보자.Problem 12.3.6 함수에 대해 점을 포함하는 Open disk 위에서 가 연속이면 존재함을 증명하라.sol)을 포함하는 Open disk이므로 다음 그림과 같이 4점을 정점으로 하는 직사각형이 내부에 존재하도록 하는 것이 아니라 실수가 존재한다.
라고 하자. 그렇다면 이 때이므로 Meanvaluetheorem에 의하면 다음을 만족하는가 하는 사이에 존재하고 Meanvaluetheorem을 다시 사용하면 를 만족하는가 하는 사이에 존재한다. 이때는 ~에 의존하지 않는다.
한편, 그렇다면 ‘-이기 때문에’를 얻을 수 있다.를 고정시키고, 양변에 극한을 취하면 위에서 연속이기 때문에 다음을 얻는다.그 때문에, 뒷면에서는 위에서 연속이기 때문에, 다음을 얻는다.따라서 존재하고 있다. ■
